[BOJ 1062] 가르침

문제 링크 : https://www.acmicpc.net/problem/1062

문제

남극에 사는 김지민 선생님은 학생들이 되도록이면 많은 단어를 읽을 수 있도록 하려고 한다. 그러나 지구온난화로 인해 얼음이 녹아서 곧 학교가 무너지기 때문에, 김지민은 K개의 글자를 가르칠 시간 밖에 없다. 김지민이 가르치고 난 후에는, 학생들은 그 K개의 글자로만 이루어진 단어만을 읽을 수 있다. 김지민은 어떤 K개의 글자를 가르쳐야 학생들이 읽을 수 있는 단어의 개수가 최대가 되는지 고민에 빠졌다.

남극언어의 모든 단어는 "anta"로 시작되고, "tica"로 끝난다. 남극언어에 단어는 N개 밖에 없다고 가정한다. 학생들이 읽을 수 있는 단어의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 단어의 개수 N과 K가 주어진다. N은 50보다 작거나 같은 자연수이고, K는 26보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다. 둘째 줄부터 N개의 줄에 남극 언어의 단어가 주어진다. 단어는 영어 소문자로만 이루어져 있고, 길이가 8보다 크거나 같고, 15보다 작거나 같다. 모든 단어는 중복되지 않는다.

출력

첫째 줄에 김지민이 K개의 글자를 가르칠 때, 학생들이 읽을 수 있는 단어 개수의 최댓값을 출력한다.

제한

시간 제한	메모리 제한
1sec	128MB (하단 참고)

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풀이

남극 언어의 모든 단어가 “anta”로 시작하고 “tica”로 끝난다는 점에 착안하여, 주어진 $K$개의 글자로 최대한 많은 단어를 읽을 수 있는 조합을 찾는 문제다. 단어의 시작과 끝에 포함되는 ‘a’, ‘n’, ‘t’, ‘i’, ‘c’ 5개의 글자는 어떤 단어를 읽더라도 반드시 배워야 하는 필수 글자다. 따라서 $K < 5$인 경우 유효한 단어를 하나도 읽을 수 없으며, $K \ge 5$인 경우 나머지 글자들 중 $K-5$개를 선택하는 최적의 조합을 찾아야 한다.

해결 과정은 다음과 같다:

1. 비트마스킹(Bitmasking): 각 단어에 포함된 알파벳 정보를 정수형 변수의 비트로 저장한다. 예를 들어 ‘a’가 포함되어 있다면 0번 비트를, ‘z’가 포함되어 있다면 25번 비트를 1로 설정한다. 이렇게 하면 특정 단어를 읽을 수 있는지 여부를 비트 연산(&)만으로 빠르게 판별할 수 있다.
2. 필수 글자 처리: ‘a’, ‘n’, ‘t’, ‘i’, ‘c’에 해당하는 비트를 미리 활성화하고, $K$에서 5를 뺀 만큼의 글자를 추가로 선택한다.
3. 백트래킹 알고리즘: 아직 배우지 않은 알파벳들 중 $K-5$개를 고르는 모든 조합을 탐색한다. 알파벳의 총 개수는 26개이며 필수 글자 5개를 제외한 21개 중 최대 10여 개를 고르는 조합의 수는 $\binom{21}{10} = 352\,716$으로, 충분히 탐색 가능한 범위다.
4. 최댓값 갱신: 글자 조합이 완성될 때마다 모든 단어를 순회하며, 현재 배운 글자들로 구성 가능한 단어의 개수를 세어 최댓값을 갱신한다.

\[\binom{21}{K-5} \times N \le 352\,716 \times 50 \approx 1.7 \times 10^7\]

전체 연산 횟수는 약 $1.7 \times 10^7$번 정도로, 제한 시간 1초 내에 여유롭게 해결 가능하다. 소스 코드에서는 word 배열에 각 단어의 비트마스크를 저장하고, backtrack 함수를 통해 사전순으로 알파벳 조합을 생성하며 읽을 수 있는 단어의 수를 계산했다.

소스코드

Github Link : Source Code

참고 알고리즘 : 백트래킹 알고리즘