[BOJ 12865] 평범한 배낭
- 문제풀이
문제
이 문제는 아주 평범한 배낭에 관한 문제이다.
한 달 후면 국가의 부름을 받게 되는 준서는 여행을 가려고 한다. 세상과의 단절을 슬퍼하며 최대한 즐기기 위한 여행이기 때문에, 가지고 다닐 배낭 또한 최대한 가치 있게 싸려고 한다.
준서가 여행에 필요하다고 생각하는 N개의 물건이 있다. 각 물건은 무게 W와 가치 V를 가지는데, 해당 물건을 배낭에 넣어서 가면 준서가 V만큼 즐길 수 있다. 아직 행군을 해본 적이 없는 준서는 최대 K만큼의 무게만을 넣을 수 있는 배낭만 들고 다닐 수 있다. 준서가 최대한 즐거운 여행을 하기 위해 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치의 최댓값을 알려주자.
입력
첫 줄에 물품의 수 N(1 ≤ N ≤ 100)과 준서가 버틸 수 있는 무게 K(1 ≤ K ≤ 100,000)가 주어진다. 두 번째 줄부터 N개의 줄에 거쳐 각 물건의 무게 W(1 ≤ W ≤ 100,000)와 해당 물건의 가치 V(0 ≤ V ≤ 1,000)가 주어진다.
입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.
출력
한 줄에 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치합의 최댓값을 출력한다.
제한
| 시간 제한 | 메모리 제한 |
|---|---|
| 2sec | 512MB |
풀이
$N$개의 물건 각각의 무게 $W$와 가치 $V$가 주어질 때, 배낭의 최대 용량 $K$를 넘지 않으면서 담을 수 있는 가치의 최댓값을 구하는 문제다. 각 물건을 한 번씩만 선택할 수 있는 전형적인 0/1 배낭 문제(Knapsack Problem)로, 다이나믹 프로그래밍을 통해 해결할 수 있다.
가장 기본적인 접근은 $2$차원 배열 $DP[i][j]$를 사용하여 “첫 번째부터 $i$번째 물건까지 고려했을 때, 무게 합이 $j$인 경우의 최대 가치”를 구하는 것이다. 하지만 무게 제한 $K$가 최대 $100\,000$이고 물건의 수 $N$이 $100$이므로, $2$차원 배열을 사용하면 메모리 낭비가 클 수 있다.
소스 코드에서는 이를 최적화하여 $1$차원 배열을 사용하는 방식을 취했다. $1$차원 배열 $DP[j]$를 “무게 합이 $j$일 때의 최대 가치”로 정의하고, 각 물건마다 배열을 업데이트한다. 이때 중요한 점은 배열을 오른쪽(큰 무게)에서 왼쪽(작은 무게)으로 업데이트해야 한다는 것이다. 왼쪽부터 업데이트할 경우, 같은 루프 안에서 방금 담은 물건을 또 담는 오류(중복 선택)가 발생할 수 있기 때문이다.
물건 $i$의 무게를 $W_i$, 가치를 $V_i$라고 할 때 점화식은 다음과 같다.
\[DP[j] = \max(DP[j], DP[j - W_i] + V_i)\]전체 시간 복잡도는 $O(NK)$이며, 이 문제에서는 최대 $100 \times 100\,000 = 10\,000\,000$번의 연산이 수행된다. 이는 시간 제한 $2$초 내에 매우 여유롭게 통과 가능한 수준이다. 결과적으로 $DP[K]$ 값을 출력함으로써 배낭에 담을 수 있는 가치의 최댓값을 얻을 수 있다.
자세한 설명은 냅색 알고리즘을 참고하자.
소스코드
Github Link : Source Code
참고 알고리즘 : 다이나믹 프로그래밍, 냅색 알고리즘