[1715] 카드 정렬하기

문제 링크 : https://www.acmicpc.net/problem/1715

1715 - 카드 정렬하기

본문

정렬된 두 묶음의 숫자 카드가 있다고 하자. 각 묶음의 카드의 수를 $A$, $B$라 하면 보통 두 묶음을 합쳐서 하나로 만드는 데에는 $A+B$ 번의 비교를 해야 한다. 이를테면, 20장의 숫자 카드 묶음과 30장의 숫자 카드 묶음을 합치려면 50번의 비교가 필요하다.

매우 많은 숫자 카드 묶음이 책상 위에 놓여 있다. 이들을 두 묶음씩 골라 서로 합쳐나간다면, 고르는 순서에 따라서 비교 횟수가 매우 달라진다. 예를 들어 10장, 20장, 40장의 묶음이 있다면 10장과 20장을 합친 뒤, 합친 30장 묶음과 40장을 합친다면 (10 + 20) + (30 + 40) = 100번의 비교가 필요하다. 그러나 10장과 40장을 합친 뒤, 합친 50장 묶음과 20장을 합친다면 (10 + 40) + (50 + 20) = 120 번의 비교가 필요하므로 덜 효율적인 방법이다.

$N$개의 숫자 카드 묶음의 각각의 크기가 주어질 때, 최소한 몇 번의 비교가 필요한지를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 $N$이 주어진다. ($1 \leq N \leq 100\,000$) 이어서 $N$개의 줄에 걸쳐 숫자 카드 묶음의 각각의 크기가 주어진다. 숫자 카드 묶음의 크기는 $1\,000$보다 작거나 같은 양의 정수이다.

출력

첫째 줄에 최소 비교 횟수를 출력한다.

제한

시간 제한	메모리 제한
2sec	128MB

---

풀이

2개의 카드 더미를 합치면 1개의 카드 더미가 된다 -> 1번의 합치기 연산을 적용하면 카드 더미가 하나 줄어든다. 즉 $N$개의 카드 더미가 있다면 합치는 연산의 횟수는 $N-1$번 필요하다. 비교 횟수를 최소화하기 위해서는, 합치는 연산의 횟수를 줄일 수는 없으니까, 한번의 연산마다 비교하는 횟수를 최소화해야한다는 의미가 된다.

비교 횟수는 두 카드 더미의 카드 수의 합이므로, 카드 수가 적을수록 카드 비교 횟수가 적어질 것이다. 즉 선택할 두 카드 더미는 카드 수가 적은 카드 더미로 선택하는 것이 유리하다. 그래서, 카드 수가 가장 적은 카드 더미 2개를 계속 선택해가면 최소 비교 횟수를 얻을 수 있다!

항상 최솟값만 출력하면 되므로 우리는 우선순위 큐를 이용할 수 있다. 카드 더미를 모두 큐에 넣으면, pop할때 마다 최소 카드 더미를 반환해줄 것이다. 다만 두 카드 더미를 합친 결과 또한 다시 큐에 넣어야 한다는 것을 잊지 말자.

푸는 과정은, 큐에 카드 더미가 1개만 남을 때까지 또는 $N-1$번 동안, 최소 카드 더미 2개를 뽑고 둘을 합친다. 비교 횟수는 답에 추가하고 합쳐진 카드 더미는 다시 우선순위 큐에 넣는다. 이 과정을 반복하여 계산한 총 비교 횟수가 답이다.

• 참고 알고리즘 : 힙

코드

사용 언어 : C

최종 수정일 : 2023 / 11 / 3

#include <stdio.h>

#define MAX_IDX 100000
const int HEAD = 1;

int heap[MAX_IDX + 10];
int top;

int n;

void push(int x) {
    heap[++top] = x;
    int i = top;

    while (i > HEAD && heap[i / 2] > x) {
        heap[i] = heap[i / 2];
        heap[i / 2] = x;
        i /= 2;
    }
    return;
}

int pop() {
    int ret = heap[HEAD];
    heap[HEAD] = heap[top--];

    int i = 1, tp = 2;
    while (tp < top) {
        if (heap[tp] > heap[tp + 1]) {
            ++tp;
        }

        if (heap[i] <= heap[tp]) {
            break;
        } else {
            int temp = heap[tp];
            heap[tp] = heap[i];
            heap[i] = temp;

            i = tp, tp *= 2;
        }
    }
    if (tp == top && heap[i] > heap[tp]) {
        int temp = heap[tp];
        heap[tp] = heap[i];
        heap[i] = temp;
    }

    return ret;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        push(x);
    }

    int result = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        int temp = pop() + pop();
        push(temp);
        result += temp;
    }

    printf("%d", result);
    return 0;
}