[BOJ 2565] 전깃줄

문제 링크 : https://www.acmicpc.net/problem/2565

문제

두 전봇대 A와 B 사이에 하나 둘씩 전깃줄을 추가하다 보니 전깃줄이 서로 교차하는 경우가 발생하였다. 합선의 위험이 있어 이들 중 몇 개의 전깃줄을 없애 전깃줄이 교차하지 않도록 만들려고 한다.

예를 들어, < 그림 1 >과 같이 전깃줄이 연결되어 있는 경우 A의 1번 위치와 B의 8번 위치를 잇는 전깃줄, A의 3번 위치와 B의 9번 위치를 잇는 전깃줄, A의 4번 위치와 B의 1번 위치를 잇는 전깃줄을 없애면 남아있는 모든 전깃줄이 서로 교차하지 않게 된다.

< 그림 1 >

전깃줄이 전봇대에 연결되는 위치는 전봇대 위에서부터 차례대로 번호가 매겨진다. 전깃줄의 개수와 전깃줄들이 두 전봇대에 연결되는 위치의 번호가 주어질 때, 남아있는 모든 전깃줄이 서로 교차하지 않게 하기 위해 없애야 하는 전깃줄의 최소 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에는 두 전봇대 사이의 전깃줄의 개수가 주어진다. 전깃줄의 개수는 100 이하의 자연수이다. 둘째 줄부터 한 줄에 하나씩 전깃줄이 A전봇대와 연결되는 위치의 번호와 B전봇대와 연결되는 위치의 번호가 차례로 주어진다. 위치의 번호는 500 이하의 자연수이고, 같은 위치에 두 개 이상의 전깃줄이 연결될 수 없다.

출력

첫째 줄에 남아있는 모든 전깃줄이 서로 교차하지 않게 하기 위해 없애야 하는 전깃줄의 최소 개수를 출력한다.

제한

시간 제한	메모리 제한
1sec	128MB

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풀이

두 전봇대 A와 B 사이에 연결된 전깃줄들이 서로 교차하지 않도록 만들기 위해 제거해야 하는 전깃줄의 최소 개수를 구하는 문제다. 전깃줄이 교차하지 않으려면, A 전봇대에서 더 낮은 위치에 연결된 전깃줄이 B 전봇대에서도 더 낮은 위치에 연결되어야 한다. 즉, 두 전깃줄 $i, j$에 대해 $A_i < A_j$라면 $B_i < B_j$를 만족해야 한다.

제거해야 하는 전깃줄의 최소 개수를 구하는 것은, 반대로 말하면 교차하지 않고 남길 수 있는 전깃줄의 최대 개수를 구하는 것과 같다. 이 문제는 전깃줄을 한쪽 전봇대(A) 기준으로 정렬한 뒤, 반대쪽 전봇대(B) 연결 위치의 가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS)을 찾는 문제로 치환된다.

해결 과정은 다음과 같다.

1. 전깃줄의 정보를 구조체에 담아 입력받고, A 전봇대의 연결 번호를 기준으로 오름차순 정렬한다.
2. 정렬된 전깃줄들을 순회하며 B 전봇대 연결 번호들을 대상으로 LIS의 길이를 계산한다.
3. $LIS[i]$를 “$i$번째 전깃줄을 마지막으로 포함할 때 교차하지 않는 최대 전깃줄 수”라고 정의할 때, 점화식은 아래와 같다.

\[LIS[i] = \max(LIS[j] + 1, LIS[i]) \quad (0 \leq j < i, \text{ if } B_j < B_i)\]

전체 전깃줄의 개수 $N$은 최대 $100$이므로, $O(N^2)$의 시간 복잡도를 가지는 일반적인 DP 방식으로 LIS를 구해도 시간 제한 내에 충분히 해결 가능하다. 마지막으로 전체 전깃줄 수 $N$에서 구한 LIS의 최댓값을 빼주면 제거해야 할 최소 개수를 얻을 수 있다.

소스코드

Github Link : Source Code

참고 알고리즘 : 가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS)