[BOJ 17070] 파이프 옮기기 1
- 문제풀이
문제
유현이가 새 집으로 이사했다. 새 집의 크기는 N×N의 격자판으로 나타낼 수 있고, 1×1크기의 정사각형 칸으로 나누어져 있다. 각각의 칸은 (r, c)로 나타낼 수 있다. 여기서 r은 행의 번호, c는 열의 번호이고, 행과 열의 번호는 1부터 시작한다. 각각의 칸은 빈 칸이거나 벽이다.
오늘은 집 수리를 위해서 파이프 하나를 옮기려고 한다. 파이프는 아래와 같은 형태이고, 2개의 연속된 칸을 차지하는 크기이다.
파이프는 회전시킬 수 있으며, 아래와 같이 3가지 방향이 가능하다.
파이프는 매우 무겁기 때문에, 유현이는 파이프를 밀어서 이동시키려고 한다. 벽에는 새로운 벽지를 발랐기 때문에, 파이프가 벽을 긁으면 안 된다. 즉, 파이프는 항상 빈 칸만 차지해야 한다.
파이프를 밀 수 있는 방향은 총 3가지가 있으며, →, ↘, ↓ 방향이다. 파이프는 밀면서 회전시킬 수 있다. 회전은 45도만 회전시킬 수 있으며, 미는 방향은 오른쪽, 아래, 또는 오른쪽 아래 대각선 방향이어야 한다.
파이프가 가로로 놓여진 경우에 가능한 이동 방법은 총 2가지, 세로로 놓여진 경우에는 2가지, 대각선 방향으로 놓여진 경우에는 3가지가 있다.
아래 그림은 파이프가 놓여진 방향에 따라서 이동할 수 있는 방법을 모두 나타낸 것이고, 꼭 빈 칸이어야 하는 곳은 색으로 표시되어져 있다.
가로
세로
대각선
가장 처음에 파이프는 (1, 1)와 (1, 2)를 차지하고 있고, 방향은 가로이다. 파이프의 한쪽 끝을 (N, N)로 이동시키는 방법의 개수를 구해보자.
입력
첫째 줄에 집의 크기 N(3 ≤ N ≤ 16)이 주어진다. 둘째 줄부터 N개의 줄에는 집의 상태가 주어진다. 빈 칸은 0, 벽은 1로 주어진다. (1, 1)과 (1, 2)는 항상 빈 칸이다.
출력
첫째 줄에 파이프의 한쪽 끝을 (N, N)으로 이동시키는 방법의 수를 출력한다. 이동시킬 수 없는 경우에는 0을 출력한다. 방법의 수는 항상 1,000,000보다 작거나 같다.
제한
| 시간 제한 | 메모리 제한 |
|---|---|
| 1sec (추가 시간 없음) | 512MB |
풀이
$N \times N$ 크기의 격자판에서 파이프의 한쪽 끝을 $(N, N)$으로 이동시키는 방법의 수를 구하는 문제다. 파이프는 가로, 세로, 대각선 세 가지 방향으로 놓일 수 있으며, 각 상태에서 이동할 수 있는 규칙이 정해져 있다. 모든 경로를 일일이 탐색하는 대신 다이나믹 프로그래밍을 활용하면 중복 계산을 피하고 효율적으로 정답을 구할 수 있다.
$DP$ 테이블은 $DP[i][j][state]$ 형태로 정의하며, 이는 파이프의 끝점이 $(i, j)$에 위치하고 방향이 $state$일 때의 경우의 수를 의미한다. 방향은 가로(0), 세로(1), 대각선(2)으로 구분한다. 각 상태에 따른 점화식은 다음과 같다:
\[DP[i][j][0] = DP[i][j-1][0] + DP[i][j-1][2]\] \[DP[i][j][1] = DP[i-1][j][1] + DP[i-1][j][2]\] \[DP[i][j][2] = DP[i-1][j-1][0] + DP[i-1][j-1][1] + DP[i-1][j-1][2]\]각 이동 시에는 반드시 목적지 칸이 빈 칸($0$)이어야 한다. 특히 대각선 방향으로 이동할 때는 현재 위치 $(i, j)$뿐만 아니라 그 왼쪽 칸 $(i, j-1)$과 위쪽 칸 $(i-1, j)$도 모두 빈 칸이어야 한다는 추가 조건이 붙는다.
격자의 크기 $N$은 최대 16으로 매우 작다. 따라서 전체 격자를 순회하며 $DP$ 테이블을 채우는 방식은 $O(N^2)$의 시간 복잡도를 가지며, 이는 제한 시간 1초 내에 충분히 해결 가능한 연산량이다. 최종적으로 $(N, N)$ 좌표에 도달한 세 가지 방향의 $DP$ 값을 모두 합산하여 결과를 출력한다.
소스코드
Github Link : Source Code
참고 알고리즘 : 다이나믹 프로그래밍