[BOJ 1956] 운동

문제 링크 : https://www.acmicpc.net/problem/1956

문제

V개의 마을와 E개의 도로로 구성되어 있는 도시가 있다. 도로는 마을과 마을 사이에 놓여 있으며, 일방 통행 도로이다. 마을에는 편의상 1번부터 V번까지 번호가 매겨져 있다고 하자.

당신은 도로를 따라 운동을 하기 위한 경로를 찾으려고 한다. 운동을 한 후에는 다시 시작점으로 돌아오는 것이 좋기 때문에, 우리는 사이클을 찾기를 원한다. 단, 당신은 운동을 매우 귀찮아하므로, 사이클을 이루는 도로의 길이의 합이 최소가 되도록 찾으려고 한다.

도로의 정보가 주어졌을 때, 도로의 길이의 합이 가장 작은 사이클을 찾는 프로그램을 작성하시오. 두 마을을 왕복하는 경우도 사이클에 포함됨에 주의한다.

입력

첫째 줄에 V와 E가 빈칸을 사이에 두고 주어진다. (2 ≤ V ≤ 400, 0 ≤ E ≤ V(V-1)) 다음 E개의 줄에는 각각 세 개의 정수 a, b, c가 주어진다. a번 마을에서 b번 마을로 가는 거리가 c인 도로가 있다는 의미이다. (a → b임에 주의) 거리는 10,000 이하의 자연수이다. (a, b) 쌍이 같은 도로가 여러 번 주어지지 않는다.

출력

첫째 줄에 최소 사이클의 도로 길이의 합을 출력한다. 운동 경로를 찾는 것이 불가능한 경우에는 -1을 출력한다.

제한

시간 제한	메모리 제한
2sec	192MB

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풀이

이 문제는 방향 그래프 내에서 가중치 합이 가장 작은 사이클을 찾는 문제이다. 마을의 개수 $V$가 최대 400으로 주어지므로, 모든 정점 쌍 간의 최단 거리를 구하는 최단경로 :: 플로이드 워셜 알고리즘 알고리즘을 사용하기에 적합하다.

알고리즘의 동작 방식은 다음과 같다:

• 초기화: 모든 경로의 가중치를 무한대(INF)로 초기화한다. 일반적인 플로이드-워셜과 달리 자기 자신으로 가는 경로(grid[i][i])도 INF로 유지하여, $i$에서 출발해 다시 $i$로 돌아오는 사이클의 길이를 측정할 수 있게 한다.
• 최단 경로 갱신: 3중 반복문을 통해 정점 $i$에서 $j$로 가는 경로 중 경유지 $k$를 거쳐가는 경로가 더 짧다면 값을 갱신한다. 이때 도로의 거리는 최대 $10\,000$이다.
• 사이클 판별: 모든 탐색이 끝난 후 grid[i][i] 값은 정점 $i$에서 출발하여 다시 $i$로 돌아오는 최단 경로의 길이가 된다. 이들 중 최솟값을 정답으로 선택한다.

시간 복잡도는 $O(V^3)$이며, 본 문제에서는 약 $64\,000\,000$ 번의 연산이 수행된다. 이는 2초의 시간 제한 내에 충분히 통과할 수 있는 수준이다.

소스코드

Github Link : Source Code

참고 알고리즘 : 최단경로 :: 플로이드 워셜 알고리즘